OPISY KURSÓW/PRZEDMIOTÓW

Kod przedmiotu

MAP1140

Studia

ogólnouczelniane;

Tytuł przedmiotu

Algebra z Geometrią Analityczną A

Imię, nazwisko i tytuł/stopień prowadzącego

Komisja programowa Instytutu Matematyki i Informatyki

Imiona, nazwiska oraz tytuły/stopnie członków zespołu dydaktycznego

Pracownicy naukowo-dydaktyczni i dydaktyczni Instytutu Matematyki i Informatyki

Forma zaliczenia kursu

Forma kursu Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba punktów
Tygodniowa liczba godzin 2 1 2+2
Forma zaliczenia egzamin zaliczenie

Wymagania wstępne

Zalecana jest znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym

Krótki opis zawartości całego kursu

Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna, geometria analityczna na płaszczyźnie i w przestrzeni, krzywe stożkowe, macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych, liczby zespolone, wielomiany. Kurs może być prowadzony w jęz. angielskim.

Wykład (podać z dokładnością do 2 godzin)

Zawartość tematyczna Liczba godzin
1. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE. Wzory skróconego mnożenia. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.INDUKCJA MATEMATYCZNA. Wzór dwumianowy Newtona. Uzasadnianie tożsamości, nierówności itp. za pomocą indukcji matematycznej. (W2, W4 i W7 do samodzielnego opracowania)4
2. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE. Wektory na płaszczyźnie. Działania na wektorach. Iloczyn skalarny. Warunek prostopadłości wektorów.Równania prostej na płaszczyźnie (w postaci normalnej, kierunkowej, parametrycznej). Warunki równoległości i prostopadłości prostych. Odległość punktu od prostej. Elipsa, hiperbola. (W2, W4 i W7 do samodzielnego opracowania)4
3. MACIERZE. Określenie macierzy. Mnożenie macierzy przez liczbę. Dodawanie i mnożenie macierzy. Własności działań na macierzach. Transponowanie macierzy. Rodzaje macierzy (jednostkowa, diagonalna, symetryczna itp.).2
4. WYZNACZNIKI. Definicja wyznacznika – rozwinięcie Laplace`a. Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy. Wyznacznik macierzy transponowanej.2
5. Elementarne przekształcenia wyznacznika. Twierdzenie Cauchy`ego. Macierz nieosobliwa. Macierz odwrotna. Wzór na macierz odwrotną.2
6. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Układ równań liniowych. Wzory Cramera. Układy jednorodne i niejednorodne.2
7. Rozwiązywanie dowolnych układów równań liniowych. Eliminacja Gaussa – przekształcenie do układu z macierzą górną trójkątną. Rozwiązywanie układu z macierzą trójkątną nieosobliwą.2
8. GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI. Kartezjański układ współrzędnych. Dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez liczbę. Długość wektora. Iloczyn skalarny. Kąt między wektorami. Orientacja trójki wektorów w przestrzeni. Iloczyn wektorowy. Iloczyn mieszany. Zastosowanie do obliczania pól i objętości.2
9. Płaszczyzna. Równanie ogólne i parametryczne. Wektor normalny płaszczyzny. Kąt między płaszczyznami. Wzajemne położenia płaszczyzn. Prosta w przestrzeni. Prosta jako przecięcie dwóch płaszczyzn. Równanie parametryczne prostej. Wektor kierunkowy. Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej. Proste skośne. Odległość punktu od płaszczyzny i prostej.3
10. LICZBY ZESPOLONE. Postać algebraiczna. Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej. Liczba sprzężona. Moduł liczby zespolonej.2
11. Argument główny. Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Wzór de Moivre`a. Pierwiastek n-tego stopnia liczby zespolonej.2
12. WIELOMIANY. Działania na wielomianach. Pierwiastek wielomianu. Twierdzenie Bezouta. Zasadnicze twierdzenie algebry. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe i kwadratowe. Funkcja wymierna. Rzeczywisty ułamek prosty. Rozkład funkcji wymiernej na rzeczywiste ułamki proste.3
13. Przestrzeń liniowa Rn. Liniowa kombinacja wektorów. Podprzestrzeń liniowa. Liniowa niezależność układu wektorów. Rząd macierzy, Twierdzenie Croneckera-Capellego. Baza i wymiar podprzestrzeni liniowej przestrzeni Rn.(dla W2, W4 i W7)4
14. Przekształcenia liniowe w przestrzeni Rn. Obraz i jądro przekształcenia liniowego. Rząd przekształcenia liniowego.Wartości własne i wektory własne macierzy. Wielomian charakterystyczny. (dla W2, W4 i W7)4

Ćwiczenia

Zawartość tematyczna Liczba godzin
1. Zadania ilustrujące materiał prezentowany na wykładzie.15

Materiał do samodzielnego opracowania

Literatura podstawowa

1. J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 2005.
2. T. Huskowski, H. Korczowski, H. Matuszczyk, Algebra liniowa, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1980.
3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2006.
4. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, Cz. A, PWN, Warszawa 2003.
5. T. Trajdos, Matematyka, Cz. III, WNT, Warszawa 2005.

Literatura uzupełniająca

1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, część I, WNT, Warszawa 2002.
2. B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004.
3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza GiS, wyd. 11, Wrocław 2006.
4. E. Kącki, D.Sadowska, L. Siewierski, Geometria analityczna w zadaniach, PWN, Warszawa 1993.
5. A. I. Kostrikin, Wstęp do algebry. Podstawy algebry, PWN, Warszawa 2004.
6. A. I. Kostrikin (red.), Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 2005.
7. F. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1972.
8. A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1963.

Warunki zaliczenia

Pozytywny wynik kolokwium (ćwiczenia) i egzaminu (wykład).