OPISY KURSÓW/PRZEDMIOTÓW
Kod przedmiotu
MAP1140 |
Studia
ogólnouczelniane; |
Tytuł przedmiotu
Algebra z Geometrią Analityczną A |
Imię, nazwisko i tytuł/stopień prowadzącego
Komisja programowa Instytutu Matematyki i Informatyki |
Imiona, nazwiska oraz tytuły/stopnie członków zespołu dydaktycznego
Pracownicy naukowo-dydaktyczni i dydaktyczni Instytutu Matematyki i Informatyki |
Forma zaliczenia kursu
Forma kursu | Wykład | Ćwiczenia | Laboratorium | Projekt | Seminarium | Liczba punktów |
Tygodniowa liczba godzin | 2 | 1 | 2+2 | |||
Forma zaliczenia | egzamin | zaliczenie |
Wymagania wstępne
Zalecana jest znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym |
Krótki opis zawartości całego kursu
Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna, geometria analityczna na płaszczyźnie i w przestrzeni, krzywe stożkowe, macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych, liczby zespolone, wielomiany. Kurs może być prowadzony w jęz. angielskim. |
Wykład (podać z dokładnością do 2 godzin)
Zawartość tematyczna | Liczba godzin |
1. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE. Wzory skróconego mnożenia. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.INDUKCJA MATEMATYCZNA. Wzór dwumianowy Newtona. Uzasadnianie tożsamości, nierówności itp. za pomocą indukcji matematycznej. (W2, W4 i W7 do samodzielnego opracowania) | 4 |
2. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE. Wektory na płaszczyźnie. Działania na wektorach. Iloczyn skalarny. Warunek prostopadłości wektorów.Równania prostej na płaszczyźnie (w postaci normalnej, kierunkowej, parametrycznej). Warunki równoległości i prostopadłości prostych. Odległość punktu od prostej. Elipsa, hiperbola. (W2, W4 i W7 do samodzielnego opracowania) | 4 |
3. MACIERZE. Określenie macierzy. Mnożenie macierzy przez liczbę. Dodawanie i mnożenie macierzy. Własności działań na macierzach. Transponowanie macierzy. Rodzaje macierzy (jednostkowa, diagonalna, symetryczna itp.). | 2 |
4. WYZNACZNIKI. Definicja wyznacznika – rozwinięcie Laplace`a. Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy. Wyznacznik macierzy transponowanej. | 2 |
5. Elementarne przekształcenia wyznacznika. Twierdzenie Cauchy`ego. Macierz nieosobliwa. Macierz odwrotna. Wzór na macierz odwrotną. | 2 |
6. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Układ równań liniowych. Wzory Cramera. Układy jednorodne i niejednorodne. | 2 |
7. Rozwiązywanie dowolnych układów równań liniowych. Eliminacja Gaussa – przekształcenie do układu z macierzą górną trójkątną. Rozwiązywanie układu z macierzą trójkątną nieosobliwą. | 2 |
8. GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI. Kartezjański układ współrzędnych. Dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez liczbę. Długość wektora. Iloczyn skalarny. Kąt między wektorami. Orientacja trójki wektorów w przestrzeni. Iloczyn wektorowy. Iloczyn mieszany. Zastosowanie do obliczania pól i objętości. | 2 |
9. Płaszczyzna. Równanie ogólne i parametryczne. Wektor normalny płaszczyzny. Kąt między płaszczyznami. Wzajemne położenia płaszczyzn. Prosta w przestrzeni. Prosta jako przecięcie dwóch płaszczyzn. Równanie parametryczne prostej. Wektor kierunkowy. Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej. Proste skośne. Odległość punktu od płaszczyzny i prostej. | 3 |
10. LICZBY ZESPOLONE. Postać algebraiczna. Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej. Liczba sprzężona. Moduł liczby zespolonej. | 2 |
11. Argument główny. Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Wzór de Moivre`a. Pierwiastek n-tego stopnia liczby zespolonej. | 2 |
12. WIELOMIANY. Działania na wielomianach. Pierwiastek wielomianu. Twierdzenie Bezouta. Zasadnicze twierdzenie algebry. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe i kwadratowe. Funkcja wymierna. Rzeczywisty ułamek prosty. Rozkład funkcji wymiernej na rzeczywiste ułamki proste. | 3 |
13. Przestrzeń liniowa Rn. Liniowa kombinacja wektorów. Podprzestrzeń liniowa. Liniowa niezależność układu wektorów. Rząd macierzy, Twierdzenie Croneckera-Capellego. Baza i wymiar podprzestrzeni liniowej przestrzeni Rn.(dla W2, W4 i W7) | 4 |
14. Przekształcenia liniowe w przestrzeni Rn. Obraz i jądro przekształcenia liniowego. Rząd przekształcenia liniowego.Wartości własne i wektory własne macierzy. Wielomian charakterystyczny. (dla W2, W4 i W7) | 4 |
Ćwiczenia
Zawartość tematyczna | Liczba godzin |
1. Zadania ilustrujące materiał prezentowany na wykładzie. | 15 |
Materiał do samodzielnego opracowania
Literatura podstawowa
1. J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 2005. |
2. T. Huskowski, H. Korczowski, H. Matuszczyk, Algebra liniowa, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1980. |
3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2006. |
4. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, Cz. A, PWN, Warszawa 2003. |
5. T. Trajdos, Matematyka, Cz. III, WNT, Warszawa 2005. |
Literatura uzupełniająca
1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, część I, WNT, Warszawa 2002. |
2. B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004. |
3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza GiS, wyd. 11, Wrocław 2006. |
4. E. Kącki, D.Sadowska, L. Siewierski, Geometria analityczna w zadaniach, PWN, Warszawa 1993. |
5. A. I. Kostrikin, Wstęp do algebry. Podstawy algebry, PWN, Warszawa 2004. |
6. A. I. Kostrikin (red.), Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 2005. |
7. F. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1972. |
8. A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1963. |
Warunki zaliczenia
Pozytywny wynik kolokwium (ćwiczenia) i egzaminu (wykład). |